{"id":254,"date":"2026-03-10T12:38:29","date_gmt":"2026-03-10T12:38:29","guid":{"rendered":"https:\/\/pisam.de\/?page_id=254"},"modified":"2026-03-26T04:42:06","modified_gmt":"2026-03-26T04:42:06","slug":"mandelbrotmenge","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/pisam.de\/index.php\/mandelbrotmenge\/","title":{"rendered":"Mandelbrotmenge"},"content":{"rendered":"\n

Die Mandelbrotmenge,<\/p>\n\n\n\n

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benannt nach ihrem Entdecker, Beno\u00eet Mandelbrot, ist eine Menge von Punkten in der komplexen Zahlenebene in der N\u00e4he des Ursprungs, die sich auszeichnet durch ihre unerwartete Vielfalt sich wiederholender Strukturen von seltener Sch\u00f6nheit.<\/p>\n\n\n\n

Ihre Definition ist verbl\u00fcffend einfach: Ein Punkt a der komplexen Zahlenebene geh\u00f6rt genau dann zur Mandelbrotmenge, wenn die aus a generierte Folge<\/p>\n\n\n\n

z<\/mi>0<\/mn><\/msub>=<\/mo>0<\/mn>,<\/mo><\/mspace>z<\/mi>n<\/mi>+<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msub>=<\/mo>z<\/mi>n<\/mi>2<\/mn><\/msubsup>+<\/mo>a<\/mi><\/mrow>\nz_0 = 0, \\qquad z_{n+1} = z_n^2 + a \n\n<\/annotation><\/semantics><\/math><\/div>\n\n\n\n\n\n

beschr\u00e4nkt ist, dabei gelten f\u00fcr die Addition und die Multiplikation die Gesetze der komplexen Zahlen.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Die angesprochenen „Strukturen von seltener Sch\u00f6nheit“ entstehen am Rand der Menge, wenn die Einf\u00e4rbung der generierenden Punkte a nach folgender Regel erfolgt:<\/p>\n\n\n\n

Die Farbe Rot ist f\u00fcr die Punkte reserviert, die beschr\u00e4nkte Folgen erzeugen, sie geh\u00f6ren zur Mandelbrotmenge. Die anderen Farben werden je nach der Geschwindigkeit vergeben, mit der die Folge sich vom Ursprung unbeschr\u00e4nkt entfernt.<\/p>\n\n\n\n

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Es ist ein lohnendes Projekt f\u00fcr strebsame Sch\u00fcler mit mathematischem Interesse und Grundkenntnissen in einer beliebigen Programmiersprache, ein Programm zu schreiben, das \u00e4hnliche wie die gezeigten Bilder und viele andere vielleicht noch sch\u00f6nere erzeugt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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